Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-2-x

2x+2-x

（1）判斷該函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷該函數(shù)的單調(diào)性，不必證明；
（3）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求值域．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為R，
則f（-x）=

2-x-2x

2-x+2x

=-

2x-2-x

2x+2-x

=-f（x），
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）原函數(shù)化為：f（x）=

4x-1

4x+1

在（-∞，+∞）是一個增函數(shù)．
f（x）=

4x-1

4x+1

=

4x+1-2

4x+1

=1-

2

4x+1

，
在（-∞，+∞）上，4^x+1遞增且函數(shù)值大于0，

2

4x+1

在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
故f（x）=1-

2

4x+1

，在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵原函數(shù)化為：f（x）=

4x-1

4x+1

，
函數(shù)的解析式可以變?yōu)閒（x）=

4x-1

4x+1

=

4x+1-2

4x+1

=1-

2

4x+1

，
由于4^x+1＞1，故0＜

1

4x+1

＜1
故0＜

2

4x+1

＜2，
-1＜1-

2

4x+1

＜1
∴f（x）的值域是（-1，1）
f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x為增函數(shù)，∴y=2^x+1為增函數(shù)，
則f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

為增函數(shù)，
由y=f（x）=

2x-1

2x+1

得（1-y）2^x=1+y，
當y=1時，不成立，則方程等價為2^x=

1+y

1-y

，
由2^x=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故函數(shù)的值域為（-1，1）．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的、奇偶性的判斷與證明以及函數(shù)的值域的求法，求解此類題的關(guān)鍵是對函數(shù)性質(zhì)的證明方法熟練掌握．