Question

如圖，在直三棱柱中， ，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

（1）求證：∥平面；

（2）設(shè)點(diǎn)在線段上，，且使直線和平面所成的角的正弦值為，求的值．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（2）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；（3）把線面平行、線面垂直的條件寫完備，不要漏寫．

試題解析：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，

連接交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)

在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以∥，

又，，

所以∥平面．

（Ⅱ）在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)

所以，又，是平面內(nèi)的相交直線，

所以平面，可知．

又，是平面內(nèi)的相交直線，交點(diǎn)是D，

知平面．平面

在三棱柱中，為線段上的點(diǎn)，

過分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接

由平面，，得

又，、是平面內(nèi)的相交直線

所以平面，

是在平面內(nèi)的射影，

是直線和平面所成的角．

設(shè)，由得，

可得，

所以在中，，解得 ．

考點(diǎn)：（1）證明直線與平面平行；（2）直線和平面所成的角．