已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1(a>0).
(1)設(shè)g(x)=(2x+1)f(x),若y=g(x)與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),試求a的取值集合;
(2)設(shè)h(x)=f(x)-x2-|1-
1
x
|(x∈(0,2]),是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M(M>m),使得對每一個(gè)t∈(m,M),直線y=t與曲線y=h(x)恒有三個(gè)公共點(diǎn)?若存在,求出M-m的最大值I(a);若不存在,說明理由.
考點(diǎn):函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)題意,函數(shù)y=g(x)與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即方程g(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求出a的取值集合;
(2)根據(jù)x∈(0,2],去掉絕對值,求出h(x)的單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象求出符合條件a的取值范圍,從而求出M-m的最大值I(a).
解答: 解:(1)∵函數(shù)f(x)=x2+ax+1(a>0),g(x)=(2x+1)f(x),
∴g(x)=(2x+1)(x2+ax+1),
當(dāng)y=g(x)與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),
方程x2+ax+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
∴△=a2-4=0,
解得a=2或a=-2(不合題意,舍去),
∴a的取值集合是{2};
(2)∵h(yuǎn)(x)=f(x)-x2-|1-
1
x
|(x∈(0,2]),
∴當(dāng)0<x≤1時(shí),1≤
1
x
,
h(x)=(x2+ax+1)-x2-
1
x
+1=ax-
1
x
+2;
當(dāng)1<x≤2時(shí),1>
1
x

h(x)=(x2+ax+1)-x2-1+
1
x
=ax+
1
x
;
∴h(x)=
ax-
1
x
+2,0<x≤1
ax+
1
x
,1<x≤2
;
又∵0<x≤1時(shí),h(x)=ax-
1
x
+2是單調(diào)增函數(shù),h(x)≤a+1;
1<x≤2時(shí),h(x)=ax+
1
x
,
h′(x)=a-
1
x2
=
ax2-1
x2

令h′(x)=0,得x=
1
a

∴當(dāng)1≤
1
a
≤2,即
1
4
≤a≤1時(shí),在x=
1
a
時(shí),h(x)取得最小值2
a
,
且h(x)在(1,
1
a
)上是減函數(shù),在(
1
a
,2]上是增函數(shù),如圖所示;
;
若存在實(shí)數(shù)m和M(M>m),使得對每一個(gè)t∈(m,M),直線y=t與曲線y=h(x)恒有三個(gè)公共點(diǎn),
則a+1>2
a
,∴(
a
-1)
2
>0,即a≠1,
1
4
≤a<1①;
又h(2)≥h(1),即2a+
1
2
≥a+1,∴a≥
1
2
②;
由①②得,
1
2
≤a<1;
綜上,M-m的最大值I(a)=(a+1)-2
a
=(
a
-1)
2
=(
1
2
-1)
2
=
3
2
-
2
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題,考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題,是綜合性題目.
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x
3
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1
2
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1
2013
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26
0
(
1
2
x
)dx
,則在(a+5)2n+1(n∈N*)的小數(shù)表示中,小數(shù)點(diǎn)后面至少連續(xù)有零的個(gè)數(shù)是( 。
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