Question

19．已知動點P到點A（2，-1）、B（1，0）的距離之比為$\sqrt{2}$：1．
（1）求點P的軌跡方程C；
（2）過點Q（1，2）作直線l與曲線C相交與M、N兩點，且|MN|=2$\sqrt{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直接設(shè)出點P的坐標(biāo)，列出關(guān)系式，化簡即可．即用直接法求軌跡方程．
（2）圓心到直線的距離為$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，設(shè)直線方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，利用點到直線的距離公式建立方程，即可求出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則
∵動點P到點A（2，-1）、B（1，0）的距離之比為$\sqrt{2}$：1，
∴$\frac{\sqrt{（x-2）^{2}+（y+1）^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
化簡可得x²+（y-1）²=4；
（2）∵|MN|=2$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線的距離為$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
設(shè)直線方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴$\frac{|1-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-1±$\sqrt{2}$，
故直線l的方程為（-1+$\sqrt{2}$）x-y+3-$\sqrt{2}$=0或（-1-$\sqrt{2}$）x-y+3+$\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查直接法求軌跡方程和直線與圓位置關(guān)系的運用，考查直線方程，屬于中檔題．