Question

【題目】若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn).

（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)雙曲線:,將點(diǎn)代入方程,可求出,進(jìn)而可求出雙曲線的方程;

（2）通過(guò)討論可知直線的斜率存在,設(shè)出直線方程并與雙曲線方程聯(lián)立,得到方程,只需,求解即可.

（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線有共同的漸近線,

不妨設(shè)雙曲線:.

因?yàn)辄c(diǎn)在上,代入方程解得,

所以雙曲線的方程為.

（2）由（1）知,雙曲線的方程為.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí),顯然直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn),不合題意,舍去；

當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為,則直線的方程，

聯(lián)立,整理得,

直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn),則，

即,解得.

所以直線斜率的取值范圍是.