Question

【題目】已知函數(shù)在點處的切線與直線平行.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對任意，時，恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),由求出a值;(2) 由（Ⅰ）得,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得出函數(shù)的極值, 函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，即極值點在區(qū)間內(nèi),解出m范圍即可;(3)對不等式化簡,分離參數(shù)b和變量x,可得時，原不等式等價于恒成立，構(gòu)造,求導(dǎo)判斷單調(diào)性求出最值,即可證得命題成立.

試題解析:

（Ⅰ）解：因為，所以，根據(jù)題意，，

所以，所以．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，定義域為，

當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，

當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，

所以函數(shù)在處取得極值，又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，

所以，所以．

（Ⅲ）證明：當(dāng)時，，

所以時，原不等式等價于恒成立，

令，則，

令，則在上恒成立，

所以在上是增函數(shù)，，所以，

所以在上是增函數(shù)，所以，即原不等式恒成立．