Question

8．新高考政策已經在上海和浙江試驗實施．為了解學生科目選擇的意向，從某校高一學生中隨機抽取30位同學，對其選課情況進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：

科目選擇	物理 化學 生物	歷史 地理 政治	物理 化學 地理	歷史 地理 生物	物理 政治 歷史	其他
頻率	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{15}$	a	b	c

（Ⅰ）若所抽取的30位同學中，有2位同學選擇了“歷史、地理、生物”組合，3位同學選擇了“物理、政治、歷史”組合．求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，將選擇了“歷史、地理、生物”組合的2位同學記為x₁、x₂，選擇了“物理、政治、歷史”組合的3位同學記為y₁、y₂、y₃．現(xiàn)從這5位同學中任取2位（假定每位同學被抽中的可能性相同），寫出所有可能的結果，并求這兩位同學科目選擇恰好相同的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表得$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+a+b+c=1$，再由抽取的30位同學中，有2位同學選擇了史地生組合，有3位同學選擇了理政史組合，由此能求出a、b、c的值．
（Ⅱ）從5位同學x₁，x₂，y₁，y₂，y₃中任取2位，利用列舉法求出所有可能的結果和設事件A“從這5位同學中任取2位，這兩位同學科目選擇恰好相同“包含的基本事件，由此能求出這兩位同學科目選擇恰好相同的概率．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）由頻率分布表得$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+a+b+c=1$，…（2分）
因為抽取的30位同學中，有2位同學選擇了史地生組合，所以$a=\frac{1}{15}$，
有3位同學選擇了理政史組合，所以$b=\frac{1}{10}$，從而$c=\frac{1}{3}$
所以$a=\frac{2}{30}$，$b=\frac{1}{10}$，$c=\frac{1}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）從5位同學x₁，x₂，y₁，y₂，y₃中任取2位，所有可能的結果為：
{x₁，x₂}，{x₁，y₁}，{x₁，y₂}，{x₁，y₃}，{x₂，y₁}，{x₂，y₂}，{x₂，y₃}，{y₁，y₂}，{y₁，y₃}，{y₂，y₃}．…（8分）
設事件A表示“從這5位同學中任取2位，這兩位同學科目選擇恰好相同”，
則A包含的基本事件為：{x₁，x₂}，{y₁，y₂}，{y₁，y₃}，{y₂，y₃}共4個，
又基本事件的總數為10，
故這兩位同學科目選擇恰好相同的概率$P（A）=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$．…（13分）

點評 本題考查頻率分布列的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．