Question

已知函數(shù)f（x）=6lnx-ax²-8x+b，其中a，b為常數(shù)且x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)f′（3）=0，可構(gòu)造關(guān)于a的方程，求出a值；
（2）由（1）可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時(shí)，x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）若y=f（x）的圖象與x軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)的極大值與極小值異號(hào)，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解不等式可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=6lnx-ax²-8x+b，
∴f′（x）=

6

x

-2ax-8，
又∵x=3是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f′（3）=2-6a-8=0，
則a=-1．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
由（I）知f（x）=6lnx+x²-8+b．
∴f′（x）=

6

x

+2x-8=

2(x2-4x+3)

x

．
由f′（x）＞0可得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0可得1＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）．
（3）由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，3）單調(diào)遞減，在（3，+∞）單調(diào)遞增．
且當(dāng)x=1或x=3時(shí)，f′（x）=0．
∴f′（x）的極大值為f（1）=6ln1+1-8+b=b-7，
f′（x）的極大值為f（3）=6ln3+9-24+b=6ln3+b-15．
∵當(dāng)x充分接近0時(shí)，f′（x）＜0．當(dāng)x充分大時(shí)，f（x）＞0．
∴要使的f′（x）圖象與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只
需f（1）•f（3）＜0
即（b-7）•（6ln3+b-15）＜0
解得：7＜b＜15-6ln3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知條件確定a值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對(duì)其符號(hào)進(jìn)行分析，是解答的關(guān)鍵．