P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為
1
5

(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足
OC
OA
+
OB
,求λ的值.
分析:(1)根據(jù)P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上一點(diǎn),代入雙曲線的方程,M,N分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為
1
5
,求出直線PM,PN的斜率,然后整體代換,消去x0,y0,再由c2=a2+b2,即可求得雙曲線的離心率;
(2)根據(jù)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線,寫出直線的方程,聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消去y,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用韋達(dá)定理,及A,B,C為雙曲線上的點(diǎn),注意整體代換,并代入
OC
OA
+
OB
,即可求得λ的值.
解答:解:(1)∵P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上一點(diǎn),
x02
a2
-
y02
b2
=1
,
由題意又有
y0
x0-a 
y0
x0+ a
=
1
5
,
可得a2=5b2,c2=a2+b2,
則e=
c
a
=
30
5
,
(2)聯(lián)立
x2-5y2=5b2
y=x-c
,得4x2-10cx+35b2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=
5c
2
,x1•x2=
35b2
4

設(shè)
OC
=(x3,y3),
OC
OA
+
OB

x3x1+x2
y3y1+y2

又C為雙曲線上一點(diǎn),即x32-5y32=5b2,
有(λx1+x22-5(λy1+y22=5b2,
化簡得:λ2(x12-5y12)+(x22-5y22)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,所以x12-5y12=5b2,x22-5y22=5b2,
而x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得λ2+4λ=0,解得λ=0或-4.
點(diǎn)評:此題是個(gè)難題.本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,是一道綜合性的試題,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.其中問題(2)考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力,
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已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
a
x
(a>0),設(shè)F(x)=f(x)+g(x)

(I)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若以函數(shù)y=F(x)(x∈(0,3])的圖象上任意一點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤
1
3
恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值;
(III)是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)y=g(
2a
x2+1
)+m-1
的圖象與函數(shù)y=f(1+x2)的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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已知?jiǎng)訄AM和圓C1:(x+1)2+y2=9內(nèi)切,并和圓C2:(x-1)2+y2=1外切.
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程;
(2)過圓C1和圓C2的圓心分別作直線交(1)中曲線于點(diǎn)B、D和A、C,且AC⊥BD,垂足為P(x0,y0),設(shè)點(diǎn)E(-2,-1),求|PE|的最大值;
(3)求四邊形ABCD面積的最小值.

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(2013•遼寧一模)已知函數(shù)f(x)=ax2-x(a∈R,a≠0),g(x)=lnx
(1)當(dāng)a=1時(shí),判斷函數(shù)f(x)-g(x)在定義域上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,求a的取值范圍.
(3)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)(x1<x2)是函數(shù)y=g(x)圖象上的兩點(diǎn),平行于AB的切線以P(x0,y0)為切點(diǎn),求證x1<x0<x2

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(2013•濟(jì)寧一模)如圖,已知半橢圓C1
x2
a2
+y2=1(a>1,x≥0)的離心率為
2
2
,曲線C2是以半橢圓C1的短軸為直徑的圓在y軸右側(cè)的部分,點(diǎn)P(x0,y0)是曲線C2上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P且與曲線C2相切的直線l與半橢圓C1交于不同點(diǎn)A,B.
(I)求a的值及直線l的方程(用x0,y0表示);
(Ⅱ)△OAB的面積是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由.

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(2013•東城區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的點(diǎn),且x0∈(0,3),若以P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.

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