Question

15．已知定義城為（-1，1）的函數f（x）的導函數為f′（x）=5+cosx，且f（0）=0．如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，則實數x的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （0，2）
• D． （0，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由題意函數的導函數f′（x）=5+cosx，恒正，故函數是增函數，再由函數是奇函數將不等式f （1-x）+f （1-x²）＜0轉化為f （1-x）＜f （x²-1），由單調性及定義轉化為不等式組解之即可．

解答 解：∵函數的導函數f′（x）=5+cosx，恒正，∴函數是增函數，
令f（x）=5x+sinx+c，由f（0）=0，解得：c=0，
故f（x）=5x+sinx，是奇函數，
又函數為定義在（-1，1）上的奇函數，
則不等式f （1-x）+f （1-x²）＜0轉化為：
f （1-x）＜f （x²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-x＜1}\\{-1{＜x}^{2}-1＜1}\\{{x}^{2}-1＞1-x}\end{array}\right.$，
解得：x∈（1，$\sqrt{2}$）
故選：B．

點評 本題考查函數的單調性與導數的關系以及抽象不等式的解法，求解本題的關鍵是根據導數判斷出函數的單調性以及利用奇函數的性質與單調性將不等式轉化為不等式組，本題求解時易因為忘記定義域的限制導致解題失敗，解題時不要忘記驗證函數有意義的范圍即函數的定義域．