Question

15．已知定義城為（-1，1）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=5+cosx，且f（0）=0．如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （0，2）
• D． （0，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由題意函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=5+cosx，恒正，故函數(shù)是增函數(shù)，再由函數(shù)是奇函數(shù)將不等式f （1-x）+f （1-x²）＜0轉(zhuǎn)化為f （1-x）＜f （x²-1），由單調(diào)性及定義轉(zhuǎn)化為不等式組解之即可．

解答 解：∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=5+cosx，恒正，∴函數(shù)是增函數(shù)，
令f（x）=5x+sinx+c，由f（0）=0，解得：c=0，
故f（x）=5x+sinx，是奇函數(shù)，
又函數(shù)為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
則不等式f （1-x）+f （1-x²）＜0轉(zhuǎn)化為：
f （1-x）＜f （x²-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-x＜1}\\{-1{＜x}^{2}-1＜1}\\{{x}^{2}-1＞1-x}\end{array}\right.$，
解得：x∈（1，$\sqrt{2}$）
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及抽象不等式的解法，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性以及利用奇函數(shù)的性質(zhì)與單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，本題求解時(shí)易因?yàn)橥�記定義域的限制導(dǎo)致解題失敗，解題時(shí)不要忘記驗(yàn)證函數(shù)有意義的范圍即函數(shù)的定義域．