Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知cosC=$\frac{1}{4}$，a²=b²+$\frac{1}{2}$c²
（Ⅰ）求sin（A-B）的值；
（Ⅱ）c=$\sqrt{10}$，求a和b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知式子和余弦定理b=$\frac{2a}{3}$，c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，由余弦定理可得cosA和cosB，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinA和sinB，由和差角的三角函數(shù)可得sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，代值計(jì)算可得；
（Ⅱ）由c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$=$\sqrt{10}$可得a值，代入b=$\frac{2a}{3}$可得b值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中cosC=$\frac{1}{4}$，a²=b²+$\frac{1}{2}$c²，
∴c²=2a²-2b²，由余弦定理可得c²=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，
∴2a²-2b²=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，整理可得2a²+ab-6b²=0，
分解因式可得（a+2b）（2a-3b）=0，解得b=$\frac{2a}{3}$，
代入c²=2a²-2b²可解得c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，
由余弦定理可得cosA=$\frac{（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{10}a}{3}）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{2a}{3}•\frac{\sqrt{10}a}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
同理可得cosB=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，sinB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{\sqrt{10}}{8}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$；
（Ⅱ）由c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$=$\sqrt{10}$可得a=3，代入b=$\frac{2a}{3}$可得b=2

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，涉及整體代換的思想，屬中檔題．