Question

17．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）的周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=|2^x-2|，若函數(shù)g（x）=f（x）-|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，則當(dāng)x∈[-2016，2016]，時，函數(shù)g（x）的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 1003
• B． 2016
• C． 4032
• D． 2017

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求出在一個周期內(nèi)的解析式，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）的周期為4，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=|2^x-2|，
∴當(dāng)x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
則f（-x）=|2^-x-2|=f（x），
即f（x）=|2^-x-2|，x∈[-2，0]，
由g（x）=f（x）-|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|=0，得f（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，
設(shè)h（x）=|（$\frac{1}{2}$）^x-$\frac{1}{2}$|，
作出函數(shù)f（x）和h（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≤0時，兩個函數(shù)在[-2016，0]內(nèi)有1個交點，
在[0，4]內(nèi)兩個函數(shù)有3個交點，
當(dāng)x≥4時，兩個函數(shù)在每個周期內(nèi)都有4個交點，此時在[4，2016]內(nèi)有503×4=2012個交點，
則在[-2016，2016]上解的個數(shù)為2012+1+3=2016，
即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)是2016，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出一個周期的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．