Question

11．如圖，某城市有一個(gè)邊長(zhǎng)為4百米的正方形休閑廣場(chǎng)，廣場(chǎng)中間陰影部分是一個(gè)雕塑群．建立坐標(biāo)系（單位：百米），則雕塑群的左上方邊緣曲線AB是拋物線y²=4x（1≤x≤3，y≥0）的一段．為方便市民，擬建造一條穿越廣場(chǎng)的直路EF（寬度不計(jì)），要求直路EF與曲線AB相切（記切點(diǎn)為M），并且將廣場(chǎng)分割成兩部分，其中直路EF左上部分建設(shè)為主題陳列區(qū)．記M點(diǎn)到OC的距離為m（百米），主題陳列區(qū)的面積為S（萬平方米）．
（1）當(dāng)M為EF中點(diǎn)時(shí)，求S的值；
（2）求S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）M（m，2$\sqrt{m}$），${y}^{'}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，切線方程為y-2$\sqrt{m}$=$\frac{1}{\sqrt{m}}$（x-m），從而求出點(diǎn)E（0，$\frac{4}{3}$），F(xiàn)（$\frac{32}{9}$，4），由此能求出當(dāng)M為EF中點(diǎn)時(shí)，S的值．
（2）點(diǎn)E（0，$\sqrt{m}$），F(xiàn)（4$\sqrt{m}$-m，4），直路EF左上部分為△CEF，S=$\frac{1}{2}（m\sqrt{m}-8m+16\sqrt{m}）$，1≤m≤3，令t=$\sqrt{m}$，設(shè)S=f（t）=$\frac{1}{2}$（t³-8t²+16t），求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出S的取值范圍．

解答 解：（1）∵直路EF與曲線AB：y²=4x（1≤x≤3，y≥0）相切（記切點(diǎn)為M），M點(diǎn)到OC的距離為m（百米），
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為M（m，2$\sqrt{m}$），
曲線AB方程為y=2$\sqrt{x}$，（1≤x≤3），
∴${y}^{'}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，切線方程為y-2$\sqrt{m}$=$\frac{1}{\sqrt{m}}$（x-m），
則點(diǎn)E（0，$\sqrt{m}$），F(xiàn)（4$\sqrt{m}$-m，4），
∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，∴$\sqrt{m}+4=4\sqrt{m}$，即$\sqrt{m}=\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)E（0，$\frac{4}{3}$），F(xiàn)（$\frac{32}{9}$，4），
此時(shí)S=$\frac{1}{2}×\frac{32}{9}×（4-\frac{4}{3}）$=$\frac{128}{27}$．
（2）由（1）知點(diǎn)E（0，$\sqrt{m}$），F(xiàn)（4$\sqrt{m}$-m，4），
∵${x}_{F}-4=4\sqrt{m}-m-4$=-（$\sqrt{m}-2$）²＜0，∴x_F＜4，
又${y}_{E}=\sqrt{m}$＞0，∴直路EF左上部分為△CEF，
S=$\frac{1}{2}CF•CE$=$\frac{1}{2}（4\sqrt{m}-m）（4-\sqrt{m}）$=$\frac{1}{2}（m\sqrt{m}-8m+16\sqrt{m}）$，1≤m≤3，
令t=$\sqrt{m}$，則1$≤t≤\sqrt{3}$，設(shè)S=f（t）=$\frac{1}{2}$（t³-8t²+16t），
${f}^{'}（t）=\frac{1}{2}（3{t}^{2}-16t+16）=\frac{1}{2}（3t-4）（t-4）$，
當(dāng)1$≤t＜\frac{4}{3}$時(shí)，f′（t）＞0，當(dāng)$\frac{4}{3}＜t≤\sqrt{3}$時(shí)，f′（t）＜0，
∴${S}_{max}=f（t）_{max}=f（\frac{4}{3}）=\frac{128}{27}$，
∵f（$\sqrt{3}$）=$\frac{19\sqrt{3}-24}{2}$＜f（1）=$\frac{9}{2}$，
∴S的取值范圍為（$\frac{19\sqrt{3}-24}{2}$，$\frac{128}{27}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、換元法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．