Question

8．數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)（1）中的猜想，用三段論證明數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的遞推公式可得a₂，a₃，a₄，進而可猜想通項公式；
（2）由三段論的模式和等差數(shù)列的定義可證．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$，
∴${a_2}=\frac{2}{3}，{a_3}=\frac{{\frac{4}{3}}}{{2+\frac{2}{3}}}=\frac{1}{2}，{a_4}=\frac{1}{{2+\frac{1}{2}}}=\frac{2}{5}$
猜想：${a_n}=\frac{2}{n+1}$；
（2）∵通項公式為a_n的數(shù)列{a_n}，若a_n+1-a_n=d，d是常數(shù)，
則{a_n}是等差數(shù)列，…大前提
又∵通項公式${a_n}=\frac{2}{n}$，又$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，為常數(shù)；…小前提
∴通項公式${a_n}=\frac{2}{n}$的數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差數(shù)列．…結(jié)論

點評 本題考查簡單的邏輯推理和數(shù)列的遞推公式，屬基礎(chǔ)題．