Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³+a是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求證：f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的θ∈R，不等式f（sin²θ-msinθ）+f（2sinθ-3）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用f（-x）+f（x）=0求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）法一、利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；法二、求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在（-∞，+∞）上恒大于等于0說明f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
（Ⅲ）把不等式變形，結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)又是定義域上的增函數(shù)得到sin²θ-（m-2）sinθ-3＜0恒成立，令t=sinθ（-1≤t≤1）換元，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式組求解．

解答 （Ⅰ）解：∵函數(shù)f（x）=x³+a是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=-x³+a+x³+a=0，即a=0；
（Ⅱ）證明：由a=0，得f（x）=x³，
法一、設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）[（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}]$，
∵x₁＞x₂，
∴x₁-x₂＞0，
又$（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}≥0$，$\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}≥0$，且等號不同時成立，
∴$（{x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{2}）^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}＞0$，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
法二、由f′（x）=3x²≥0，可得f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
（Ⅲ）解：由f（sin²θ-msinθ）+f（2sinθ-3）＜0恒成立，
得f（sin²θ-msinθ）＜-f（2sinθ-3）=f（3-2sinθ）恒成立，
即sin²θ-msinθ＜3-2sinθ恒成立，
∴sin²θ-（m-2）sinθ-3＜0恒成立，
令t=sinθ（-1≤t≤1），
也就是t²-（m-2）t-3＜0在[-1，1]上恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-（m-2）（-1）-3＜0}\\{{1}^{2}-（m-2）×1-3＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜4．
∴實數(shù)m的取值范圍是（0，4）．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了恒成立問題的解決方法，考查利用“三個二次”的結(jié)合求解恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．