Question

設(shè)P₀是△ABC的AB邊上一定點，且

AP0

=3

P0B

，P是△ABC的AB邊所在直線上任意一動點，若

P0B

•

P0C

≤

PB

•

PC

恒成立，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由題意可寫出

P0B

，

PC

，

P0C

，

PB

然后由

P0B

•

P0C

≤

PB

•

PC

結(jié)合向量的數(shù)量積的 坐標(biāo)表示可得關(guān)于x的二次不等式，結(jié)合二次不等式的知識可求a，進(jìn)而可判斷

解答： 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=4，C（a，b），P（x，0），
（-2＜x＜2），則BP₀=1，A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0），

∴

P0B

=（1，0），

PB

=（2-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-1，b），
∵恒有

P0B

•

P0C

≤

PB

•

PC

，
∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立，
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立，
令f（x）=x²-（a+2）x+a+1，
當(dāng)

a+2

2

＜-2，必有f（-2）≥0，無解；
當(dāng)

a+2

2

＞2，必有f（2）≥0，無解；
當(dāng)-2≤

a+2

2

≤2，必有△=（a+2）²-4（a+1）≤0，
即△=a²≤0，
∴a=0，即C在AB的垂直平分線上，
∴AC=BC，
故△ABC為等腰三角形．

點評：本題主要考查了平面向量的運算，向量的模及向量的數(shù)量積的概念，向量運算的幾何意義的應(yīng)用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力，屬于中檔題．