Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F₂的直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，M是弦AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為

1

4

，則△ABF₁的周長等于

 

，斜率k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓方程求出a的值，由橢圓的定義和結(jié)論求出△ABF₁的周長；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)M（x，y），由題意和斜率公式可得

y

x

=

1

4

，利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式，求出直線l的斜率．

解答： 解：（1）由橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1得，a=2，
因?yàn)橹本�l：y=kx+m過右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
所以△ABF₁的周長為4a=8；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點(diǎn)M（x，y），
由直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為

1

4

得，

y

x

=

1

4

，
由題意得，

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，兩式相減得，

1

4

(x12-x22)+

1

3

(y12-y22)=0，
3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
則k=

y1-y2

x1-x2

=-

3(x1+x2)

4(y1+y2)

=-

3×2x

4×4y

=-

3

4

×

x

y

=-

3

4

×4=-3，
故答案為：8；-3．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義和簡單幾何性質(zhì)，斜率公式，以及點(diǎn)差法的應(yīng)用，其中點(diǎn)差法是�？嫉姆椒ㄖ�一．