8.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=f(x)+ax2-(2a+1)x.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=g(x)在x=1處的切線的方程;
(2)當(dāng)a>0時(shí),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(3)設(shè)斜率為k的直線與函數(shù)f(x)的圖象交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),其中x1<x2,
證明$\frac{1}{x_2}$<k<$\frac{1}{x_1}$.

分析 (1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解;
(2)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再討論參數(shù)范圍確定導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可.
(3)由條件得到不等關(guān)系,再進(jìn)行整體換元轉(zhuǎn)化為一元不等式的證明問(wèn)題.

解答 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),g(x)=lnx+x2-3x,x>0,
∴$g′(x)=\frac{1}{x}+2x-3$,
∴g′(1)=0,又g(1)=-2,
∴曲線在x=1處的切線方程為y=-2.
(2)∵$g′(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1)$
=$\frac{2a{x}^{2}-(2a+1)x+1}{x}$
=$\frac{(2ax-1)(x-1)}{x}$=$\frac{2a(x-\frac{1}{2a})(x-1)}{x}$(x>0)
∴①當(dāng)$\frac{1}{2a}<1$,即$a>\frac{1}{2}$時(shí),令g'(x)>0得,$0<x<\frac{1}{2a}$或x>1;
令g'(x)<0得,$\frac{1}{2a}<x<1$.
所以,增區(qū)間為$(0\;,\;\frac{1}{2a})\;,\;(1,+∞)$;減區(qū)間為$(\frac{1}{2a}\;,\;1)$;
②當(dāng)$\frac{1}{2a}>1$,即$0<a<\frac{1}{2}$時(shí),令g'(x)>0得,0<x<1或$x>\frac{1}{2a}$;
令g'(x)<0得,$\frac{1}{2a}<x<1$.
所以,增區(qū)間為$(0\;,\;1)\;,\;(\frac{1}{2a},+∞)$;減區(qū)間為$(\frac{1}{2a}\;,\;1)$;
③當(dāng)$\frac{1}{2a}=1$,即$a=\frac{1}{2}$時(shí),$g'(x)=\frac{{{{(x-1)}^2}}}{x}>0$,增區(qū)間為(0,+∞).
綜上,當(dāng)$0<a<\frac{1}{2}$時(shí),增區(qū)間為$(0\;,\;1)\;,\;(\frac{1}{2a},+∞)$;減區(qū)間為$(1\;,\;\frac{1}{2a})$;
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí),增區(qū)間為(0,+∞);
當(dāng)$a>\frac{1}{2}$時(shí),增區(qū)間為$(0\;,\;\frac{1}{2a})\;,\;(1,+∞)$;減區(qū)間為$(\frac{1}{2a}\;,\;1)$.
(3)依題,$k=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{ln{x_2}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$,要證  $\frac{1}{x_2}<k<\frac{1}{x_1}$,
只要證  $\frac{1}{{x}_{2}}<\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}<\frac{1}{{x}_{1}}$,
因?yàn)?nbsp;x2-x1>0,故只要證  $\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}<ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}<\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$,
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=t$(t>1),則只需證  $1-\frac{1}{t}<lnt<t-1$(t>1),
令$h(t)=lnt+\frac{1}{t}-1$(t>1),則$h′(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}=\frac{t-1}{{t}^{2}}$>0,
∴h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(t)>h(1)=0,即$lnt>1-\frac{1}{t}$(t>1),
同理可證:lnt<t-1,
綜上,$1-\frac{1}{t}<lnt<t-1$(t>1),即$\frac{1}{{x}_{2}}<k<\frac{1}{{x}_{1}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用.考查了邏輯思維和運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化的思想方法.屬于難題.

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