Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=3，BC=2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC₁上一點(diǎn)，且CF=2，E是AA₁上一點(diǎn)，且AE=1．
（1）求證：C₁E∥平面ADF；
（2）求證：B₁F⊥平面ADF；
（3）求三棱錐D-ABF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明AEC₁C是平行四邊形，可得C₁E∥AF，利用線面平行的判定定理證明C₁E∥平面ADF；
（2）證明AD⊥B₁F，B₁F⊥FD，利用線面垂直的判定定理證明：B₁F⊥平面ADF；
（3）利用等體積方法求三棱錐D-ABF的體積．

解答 （1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=3，CF=2，E是AA₁上一點(diǎn)，且AE=1，
∴AEC₁C是平行四邊形，
∴C₁E∥AF，
∵C₁E?平面ADF，AF?平面ADF，
∴C₁E∥平面ADF；
（2）證明：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)
∴AD⊥BC，又直三棱柱中：BB₁⊥底面ABC，AD?底面ABC，∴AD⊥BB₁
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∵B₁F?平面BCC₁B₁，∴AD⊥B₁F，
在矩形BCC₁B₁中：C₁F=CD=2，CF=C₁B₁=1，
∴△B₁C₁F≌△FCD，
∴∠CFD=∠C₁B₁F，
∴∠B₁DF=90°，即B₁F⊥FD，
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD；
（3）解：三棱錐D-ABF的體積=三棱錐F-ABD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{9-1}×2$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的判定定理，考查等體積法求三棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．