Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的過點(diǎn)（0，1），且離心率等于

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C與直線y=kx+1相交于兩個不同的點(diǎn)A，B，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）通過橢圓的離心率以及b，求出a，即可求解橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用弦長公式求出|AB|以及原點(diǎn)到直線的距離，表示出三角形OAB面積利用換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)橐阎獧E圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的過點(diǎn)（0，1），
∴b=1，
又∵橢圓的離心率等于

2

2

，
∴b=c，
∴a=

2

．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
將y=kx+1，代入

x2

2

+y2=1中，
得（

1

2

+k²）x²+2kx=0，
當(dāng)k≠0時，△＞0，且x₁=0，x₂=-

2k

1 2 +k2

，
所以|AB|=

1+k2

•

|2k|

1 2 +k2

，
原點(diǎn)到直線y=kx+1的距離d=

1

1+k2

S_△AOB=

1

2

|AB|•d=|

k

1 2 +k2

|=|

1

1 2k +k

|≤

1

2 1 2k •k

=

2

2

∴S_△AOB的最大值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及三角形面積的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算變形能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力．