Question

2．記方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，其中a₁，a₂，a₃是正實數(shù)，當a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，下列選項中，正確的是（　�。�

• A． 若方程②③都有實根則方程①無實根
• B． 若方程②③都有實根則方程①有實根
• C． 若方程②無實根但方程③有實根時，則方程①無實根
• D． 若方程②無實根但方程③有實根時，則方程①有實根

Answer 1

分析 由已知條件利用等比數(shù)列的性質(zhì)和一元二次方程的根的判別式求解．

解答 解：由方程①x²+a₁x+1=0，②x²+a₂x+1=0，③x²+a₃x+1=0，
其中a₁，a₂，a₃是正實數(shù)，a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，知：
在A中，若方程②③都有實根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}≥4}\\{{{a}_{3}}^{2}≥4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥2}\\{{a}_{3}≥2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$有可能不小于2，∴方程①有可能有實根，故A錯誤；
在B中，若方程②③都有實根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}≥4}\\{{{a}_{3}}^{2}≥4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}≥2}\\{{a}_{3}≥2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$有可能小于2，∴方程①可能無實根，故B錯誤；
在C中，若方程②無實根但方程③有實根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}＜4}\\{{{a}_{3}}^{2}＞4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＜2}\\{{a}_{3}＞2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，∴方程①無實根，故C正確；
在D中，若方程②無實根但方程③有實根，則$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}＜4}\\{{{a}_{3}}^{2}＞4}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}＜2}\\{{a}_{3}＞2}\\{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}}\end{array}\right.$，
∴${a}_{1}=\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{a}_{3}}$＜2，∴方程①無實根，故D錯誤．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)和一元二次方程的根的判別式的合理運用．