Question

18．已知a，b，m為非零實數(shù)，且a²+b²+2-m=0，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+1-2m=0
（1）求證：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$≥$\frac{9}{{a}^{2}+^{2}}$；
（2）求證：m≥$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用重要不等式證明求解即可．
（2）轉(zhuǎn)化已知條件，利用（1）證明的結果，列出不等式，求解m的范圍即可．

解答 證明：（1）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$）（a²+b²）=1+4+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$≥5+2$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{^{2}}}$=9，當且僅當b²=4a²，時取等號．
可得）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$）（a²+b²）≥9，∵a，b為非零實數(shù)，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$≥$\frac{9}{{a}^{2}+^{2}}$；
（2）：∵a²+b²+2-m=0，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+1-2m=0，
∴a²+b²=m-2，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=2m-1，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$）（a²+b²）=（2m-1）（m-2）≥9，
∴2m²-5m-7≥0，
∴m≤-1或m≥$\frac{7}{2}$．
∵a²+b²=m-2≥0，∴m≥2
∴m≥$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查不等式在最值中的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．