Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），記h（x）=f（x）-

1

f(x)

．
（1）判斷h（x）的奇偶性，并證明；
（2）f（x）在x∈[1，2]的上的最大值與g（x）在x∈[1，2]上的最大值相等，求實數(shù)b的值；
（3）若2^xh（2x）+mh（x）≥0對于一切x∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可；
（2）分別求出函數(shù)f（x）和g（x）在x∈[1，2]的上的最大值，建立相等關(guān)系即可求實數(shù)b的值；
（3）將不等式恒成立進行參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：（1）（Ⅰ）函數(shù)h（x）=f（x）-

1

f(x)

=2^x-2^-x為奇函數(shù)．
現(xiàn)證明如下：
∵函數(shù)h（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
由h（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-h（x），
∴函數(shù)h（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）∵f（x）=2^x在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2）=2²=4，
又∵g（x）=-x²+2x+b=-（x-1）²+b+1，
∴函數(shù)y=g（x）的對稱軸為x=1，
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=1+b，
∵f（x）在x∈[1，2]的上的最大值與g（x）在x∈[1，2]上的最大值相等
∴1+b=4，
∴b=3．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[1，2]時，2^x（2^2x-

1

22x

）+m（2^x-

1

2x

）≥0，
即m（2^2x-1）≥-（2^4x-1），
∵2^2x-1＞0，
∴m≥-（2^2x+1），
令k（x）=-（2^2x+1），x∈[1，2]
下面求函數(shù)k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，
∴-（2^2x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）_max=-5，
故m的取值范圍是[-5，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)最值的求解以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．