已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=-x2+2x+b(b∈R),記h(x)=f(x)-
1
f(x)

(1)判斷h(x)的奇偶性,并證明;
(2)f(x)在x∈[1,2]的上的最大值與g(x)在x∈[1,2]上的最大值相等,求實數(shù)b的值;
(3)若2xh(2x)+mh(x)≥0對于一切x∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
考點:函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可;
(2)分別求出函數(shù)f(x)和g(x)在x∈[1,2]的上的最大值,建立相等關系即可求實數(shù)b的值;
(3)將不等式恒成立進行參數(shù)分離,轉化為求函數(shù)的最值即可.
解答: 解:(1)(Ⅰ)函數(shù)h(x)=f(x)-
1
f(x)
=2x-2-x為奇函數(shù).
現(xiàn)證明如下:
∵函數(shù)h(x)的定義域為R,關于原點對稱.
由h(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-h(x),
∴函數(shù)h(x)為奇函數(shù).
(Ⅱ)∵f(x)=2x在區(qū)間[1,2]上單調遞增,
∴f(x)max=f(2)=22=4,
又∵g(x)=-x2+2x+b=-(x-1)2+b+1,
∴函數(shù)y=g(x)的對稱軸為x=1,
∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[1,2]上單調遞減,
∴g(x)max=g(1)=1+b,
∵f(x)在x∈[1,2]的上的最大值與g(x)在x∈[1,2]上的最大值相等
∴1+b=4,
∴b=3.
(Ⅲ)當x∈[1,2]時,2x(22x-
1
22x
)+m(2x-
1
2x
)≥0,
即m(22x-1)≥-(24x-1),
∵22x-1>0,
∴m≥-(22x+1),
令k(x)=-(22x+1),x∈[1,2]
下面求函數(shù)k(x)的最大值.
∵x∈[1,2],
∴-(22x+1)∈[-17,-5],
∴k(x)max=-5,
故m的取值范圍是[-5,+∞).
點評:本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)最值的求解以及不等式恒成立問題,利用參數(shù)分離法是解決本題的關鍵.
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A、9或
1
16
B、
1
9
或16
C、
1
9
1
16
D、9或16

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x
在(0,+∞)上為增函數(shù),則稱f(x)為“一階比增函數(shù)”;若y=
f(x)
x2
在(0,+∞)上為增函數(shù),則稱f(x)為“二階比增函數(shù)”.把所有由“一階比增函數(shù)”組成的集合記為A1,把所有由“二階比增函數(shù)”組成的集合記為A2
(1)已知函數(shù)f(x)=x3-2hx2-hx,若f(x)∈A1且f(x)∉A2,求實數(shù)h的取值范圍
(2)已知f(x)∈A2,且存在常數(shù)k,使得對任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<k,求k的最小值.

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證明:(1)2≤(1+
1
n
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(2)證明:對任意非負整數(shù)n,33n-26n-1可被676整除.

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設兩個向量
a
=(λ+2,λ2-cos2α)和
b
=(m,
m
2
+sinα),其中λ,m,α為實數(shù).若
a
=2
b
,則
λ
m
的取值范圍是( 。
A、[-1,6]
B、[-6,1]
C、(-∞,
20
9
]
D、[4,8]

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某天,甲要去銀行辦理儲蓄業(yè)務,已知銀行的營業(yè)時間為9:00至17:00,設甲在當天13:00至18:00之間任何時間去銀行的可能性相同,那么甲去銀行恰好能辦理業(yè)務的概率是( 。
A、
1
3
B、
3
4
C、
5
8
D、
4
5

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