Question

證明：（1）2≤（1+

1

n

）ⁿ＜3，其中n∈N^*；
（2）證明：對(duì)任意非負(fù)整數(shù)n，3³ⁿ-26n-1可被676整除．

Answer 1

考點(diǎn)：整除的基本性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（1）（1+

1

n

）ⁿ=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n≥2，恒成立，進(jìn)而利用放縮法和裂項(xiàng)相消法，可證得（1+

1

n

）ⁿ＜3，綜合可得結(jié)論；
（2）當(dāng)n=0時(shí)，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．當(dāng)n=1時(shí)，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．當(dāng)n≥2時(shí)，3³ⁿ-26n-1=27ⁿ-26n-1=（1+26）ⁿ-26n-1=

C

2 n

•262+…+

C

n n

•26n，可被676整除．綜合可得結(jié)論．

解答： 證明：（1）（1+

1

n

）ⁿ=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)n=1時(shí)，（1+

1

n

）ⁿ=2＜3顯然成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，（1+

1

n

）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n=2+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n=2+

n(n-1)

2!

•(

1

n

)2+

n(n-1)(n-2)

3!

•(

1

n

)3+…+

n(n-1)(n-2)…2•1

n!

•(

1

n

)n＜2+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

＜2+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n+1)

=3-

1

n+1

＜3，
綜上所述：2≤（1+

1

n

）ⁿ＜3，
 （2）當(dāng)n=0時(shí)，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．
當(dāng)n=1時(shí)，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．
當(dāng)n≥2時(shí)，3³ⁿ-26n-1=27ⁿ-26n-1=（1+26）ⁿ-26n-1=

C

0 n

+

C

1 n

•26+

C

2 n

•262+…+

C

n n

•26n-26n-1=

C

2 n

•262+…+

C

n n

•26n，可被676整除．
綜上所述：對(duì)任意非負(fù)整數(shù)n，3³ⁿ-26n-1可被676整除．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理展開公式，是解答的關(guān)鍵．