如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，和是兩個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)求證：平面；
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；(Ⅱ) 詳見(jiàn)解析；(Ⅲ) 直線與平面所成角的正弦值為.

解析試題分析：（I）利用兩平面垂直的性質(zhì)定理，證明BC平面AEC,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AEBC,根據(jù)勾股定理證明AEEC，利用線面垂直的判定定理證明AE平面BCEF;（II）三棱錐體積利用體積轉(zhuǎn)換為以E為頂點(diǎn)，為底面的椎體體積求得. 等體積轉(zhuǎn)化，是立體幾何經(jīng)常運(yùn)用的一種方法，高考也考過(guò)．
試題解析：（Ⅰ）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，∵，，，∴四邊形為正方形，∵為的中點(diǎn)，∴為的交點(diǎn)，∵， ，
∵，∴，，在三角形中，，∴，∵，∴平面；

(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過(guò)分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，，，，，，則，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；                              

(Ⅲ) 設(shè)平面的法向量為，直線

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).

（1）證明：平面；
（2）求和所成的角.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，，交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1,

（1）證明；
（2）（文科）求三棱錐的體積
（理科）求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）若，求與平面所成的角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，三棱錐P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點(diǎn)

（1）若PA＝2，求直線AE與PB所成角的余弦值；
（2）若PA，求證：平面ADE⊥平面PBC

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直角梯形，是邊上的中點(diǎn)（如圖甲），，，，將沿折到的位置，使,點(diǎn)在上，且（如圖乙）

（Ⅰ）求證：平面ABCD.
（Ⅱ）求二面角E?AC?D的余弦值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,四棱柱的底面是平行四邊形,且,,,為的中點(diǎn),平面.

(Ⅰ)證明:平面平面；
(Ⅱ)若,試求異面直線與所成角的余弦值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是矩形，底面，是的中點(diǎn)，已知，，，

求：（Ⅰ）三角形的面積；（II）三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，且．
（Ⅰ ）求多面體的體積；
（Ⅱ ）求證：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）記線段CB的中點(diǎn)為K，在平面內(nèi)過(guò)K點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

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