Question

10．如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O、M分別為AB、VA的中點；
（1）求證：OC⊥VB；
（2）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知AC=BC，O為AB的中點，可得CO⊥AB，再由平面VAB⊥平面ABC，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得OC⊥平面VAB，進一步得到OC⊥VB；
（2）把三棱錐V-ABC的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐C-VAB的體積求解．

解答 證明：（1）∵AC=BC，O為AB的中點，
∴CO⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，面VAB∩面ABC=AB，
∴OC⊥平面VAB，
又∵VB⊆面VAB，
∴OC⊥VB；
解：（2）在等腰直角三角形ACB中，
∵$AC=BC=\sqrt{2}$，
∴AB=2，OC=1，
則等邊三角形VAB的面積${S_{△VAB}}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°=\sqrt{3}$，
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱錐C-VAB的體積等于$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，
∴三棱錐V-ABC的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查空間中平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求三棱錐的體積，是中檔題．