Question

5．在邊長為4cm的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，重合后的點記為B，構(gòu)成一個三棱錐
（1）求點B到面AEF的距離
（2）求幾何體B-AEF的表面積；
（3）求直線BE與面MNE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)V_B-AEF=V_A-BEF列方程解出棱錐的高；
（2）棱錐的表面積為正方形的面積；
（3）建立空間坐標(biāo)系，求出平面MNE的法向量$\overrightarrow{n}$，利用$\overrightarrow{n}$與$\overrightarrow{BE}$的夾角求出線面角．

解答 解：（1）∵AB⊥BE，AB⊥BF，BE，BF?平面BEF，BE∩BF=B，
∴AB⊥平面BEF，
∴V_A-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{8}{3}$．
設(shè)點B到面AEF的距離為h，
則V_B-AEF=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•h$．
∵S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF=16-4-4-2=6．
V_A-BEF=V_B-AEF，
∴$\frac{1}{3}×6h=\frac{8}{3}$，
解得h=$\frac{4}{3}$cm．
即點B到面AEF的距離為$\frac{4}{3}$cm．
（2）∵幾何體B-AEF的展開圖是正方形ABCD
∴幾何體B-AEF的表面積S=S_{正方形ABCD}=16cm²．
（3）由（1）可知AB⊥平面BEF，同理可證BE⊥平面ABF，
∴BA，BE，BF兩兩垂直．
以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則B（0，0，0），E（2，0，0），M（0，0，2），N（0，1，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=（2，0，0），$\overrightarrow{ME}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{MN}$=（0，1，-2）．
設(shè)平面MNE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{ME}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{MN}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2z=0}\\{y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1）．
∴|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{BE}$|=2，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴直線BE與面MNE所成角的余弦值為sin＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，空間角的計算，當(dāng)空間角不方便作出時多采用向量法求解．