Question

12．已知離心率為2的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線分別交于A，B兩點，O是坐標原點．若△AOB的面積為$\sqrt{3}$，則拋物線的方程為（　　）

• A． y²=2x
• B． y²=3x
• C． y²=4x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程，進而求出A，B兩點的坐標，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值，即可求出拋物線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x
又拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B兩點的縱坐標分別是$\frac{pb}{2a}$、-$\frac{pb}{2a}$，
又由雙曲線的離心率為2，所以$\frac{c}{a}$=2，則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B兩點的縱坐標分別是$\frac{\sqrt{3}p}{2}$、-$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，
又△AOB的面積為$\sqrt{3}$，x軸是角AOB的角平分線
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}p$×$\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
故選：C．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，列出三角形的面積與離心率的關系也是本題的解題關鍵，有一定的運算量．