Question

12．若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足5$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，則△MBC與△ABC的面積比為（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 連接AM，BM，延長AC至D使AD=3AC，延長AM至E使AE=5AM，連接BE，則四邊形ABED是平行四邊形，利用S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABD，S_△AMB=$\frac{1}{5}$S_△ABE，三角形ABD面積=三角形ABE面積=平行四邊形ABED面積一半，即可求得結論．

解答 解：M是△ABC所在平面內一點，連接AM，BM，
延長AC至D使AD=3AC，延長AM至E使AE=5AM，
如圖示：
∵5$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{AM}$-3$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DE}$，
連接BE，則四邊形ABED是平行四邊形（向量AB和向量DE平行且模相等）
由于$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{AC}$，所以S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABD，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AE}$，所以S_△AMB=$\frac{1}{5}$S_△ABE，
在平行四邊形中，三角形ABD面積=三角形ABE面積=平行四邊形ABED面積一半
故△ABM與△ABC的面積比=$\frac{{\frac{1}{5}S}_{△ABE}}{{\frac{1}{3}S}_{△ABD}}$=$\frac{3}{5}$，
故選：C．．

點評 本題考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是確定三角形的面積，屬于中檔題．