Question

14．某人為增加家庭收入，年初用49萬元購買了一輛貨車用于長(zhǎng)途運(yùn)輸，第一年各種費(fèi)用支出為6萬元，以后每年都增加2萬元，而每年的運(yùn)輸收益為25萬元；
（1）求車主前n年的利潤f（n）關(guān)于年數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式，并判斷他第幾年開始獲利超過15萬元；（注：利潤=總收入-總成本）
（2）若干年后，車主準(zhǔn)備處理這輛貨車，有兩種方案：
方案一：利潤f（n）最多時(shí)，以4萬元出售這輛車；
方案二：年平均利潤最大時(shí)，以13萬元出售這輛車；
請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫他做出決策．

Answer 1

分析 （1）判斷題目是關(guān)于等差數(shù)列的知識(shí)，然后列出f（n）的關(guān)系式，令f（n）＞15求出n，可得車主第5年開始獲利超過25萬元；
（2）對(duì)方案一：利潤f（n）=-（n-10）²+51求出最大值，對(duì)方案二：年平均獲利，得到n=7時(shí)，年平均獲利最大，然后建議車主采用方案二處理這條貨車．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）每年的費(fèi)用支出是以6為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，…（1分）
依題意$f（n）=25n-[6n+\frac{n（n-1）}{2}×2]-49=-{n^2}+20n-49$…（3分）
令f（n）＞15得n²-20n+64＜0，解得4＜n＜16…（5分）
故車主第5年開始獲利超過25萬元；                  …（6分）
（2）對(duì)方案一：利潤f（n）=-（n-10）²+51
所以當(dāng)n=10時(shí)，利潤取得最大值，為51萬元
此時(shí)出售貨車，共獲利51+4=55萬元           …（8分）
對(duì)方案二：年平均獲利$\frac{f（n）}{n}=20-（n+\frac{49}{n}）≤20-2\sqrt{49}=6$萬元
所以當(dāng)$n=\frac{49}{n}$即n=7時(shí)，年平均獲利最大，…（10分）
此時(shí)出售貨車，共獲利6×7+13=55萬元     …（11分）
這兩種方案車主均獲利55萬元，但方案一用時(shí)10年，而方案二只需7年，用時(shí)較少，故建議車主采用方案二處理這條貨車                      …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列在函數(shù)中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．