Question

11．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）若z=（2cosθ-t-2）²+（$\sqrt{3}$sinθ-t+1）²，求z的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消參數(shù)，得出普通方程；
（2）設(shè)直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），則z表示曲線C上的點(diǎn)到直線l上的點(diǎn)的距離的平方，利用距離公式求出距離的最小值即可得出答案．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=t-1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），則直線l的普通方程x-y-3=0．
則曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-\sqrt{3}sinθ-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{7}cos（θ+φ）-3|}{\sqrt{2}}$．
∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離為d_min=$\frac{3-\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$，d_min²=8-3$\sqrt{7}$．
∴z的取值范圍是[8-3$\sqrt{7}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．