Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過點F的直線交y軸于點N，交橢圓C于點A、P（P在第一象限），過點P作y軸的垂線交橢圓C于另外一點Q．若$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．
（1）設直線PF、QF的斜率分別為k、k'，求證：$\frac{k}{k'}$為定值；
（2）若$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$且△APQ的面積為$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設P（x₁，y₁），則Q（-x₂，y₂），由$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．解得：x₂=$\frac{3}{2}$c，由直線的斜率公式k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{c}$，k'=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{-5c}$，$\frac{k}{k'}$=-5為定值；
（2）由$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FP}$，求得A點坐標，代入橢圓方程，解得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，由c²=a²-b²，$\frac{{c}^{2}}{^{2}}=\frac{2}{3}$，因此$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=\frac{{y}_{1}^{2}}{\frac{3{c}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{10}$，$\frac{{y}_{1}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{3}{20}$，由三角形的面積公式可知：S_△APQ=$\frac{1}{2}$•3c•4y₁=6cy₁=$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，求得c²${y}_{1}^{2}$=$\frac{12}{5}$，即可求得c的值，求得橢圓方程．

解答 解：（1）設焦點F（c，0），由c²=a²-b²，P（x₁，y₁），則Q（-x₂，y₂），
∴直線PF的斜率k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$，QF的斜率k'=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-c}$，
∵$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$．
∴c=2（x₂-c），即x₂=$\frac{3}{2}$c  …（3分）
∴k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{c}$，k'=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-c}$=$\frac{2{y}_{2}}{-5c}$，
∴k=-5k'，即$\frac{k}{k'}$=-5為定值． …（6分）
（2）若$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{FP}$，$\overrightarrow{NF}=2\overrightarrow{FP}$則丨AF丨=3丨FP丨，
$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FP}$，解得：A（-$\frac{1}{2}$c，-3y₁）
∵點A、P在橢圓C上，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{9{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
整理得：$\frac{80{c}^{2}}{4{a}^{2}}$=8，解得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，…（10分）
則$\frac{{c}^{2}}{^{2}}=\frac{2}{3}$，代入得：$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=\frac{{y}_{1}^{2}}{\frac{3{c}^{2}}{2}}$=$\frac{1}{10}$，$\frac{{y}_{1}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{3}{20}$，
∵△APQ的面積為S_△APQ=$\frac{1}{2}$•3c•4y₁=6cy₁=$\frac{{12\sqrt{15}}}{5}$，
解得：c²${y}_{1}^{2}$=$\frac{12}{5}$，
∴c²=4，…（14分）
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$． …（16分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線的斜率公式，向量數量積的坐標表示及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．