Question

2．（1）在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)（2，$\frac{π}{3}$）到直線ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）=6的距離；
（2）已知直線l的方程為y=x+2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ=4（ρ＞0，$\frac{3π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$），求直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）化點(diǎn)的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，化直線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得答案；
（2）化曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線方程和切線方程，求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)得答案．

解答 解：（1）（2，$\frac{π}{3}$）化為直角坐標(biāo)為（1，$\sqrt{3}$）．
直線ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）=6化為直角坐標(biāo)方程為$x+\sqrt{3}y-6=0$．
由點(diǎn)到直線的距離公式得：點(diǎn)（1，$\sqrt{3}$）到直線$x+\sqrt{3}y-6=0$的距離d=$\frac{|1×1+\sqrt{3}×\sqrt{3}-6|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}=1$；
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos2θ=4（ρ＞0，$\frac{3π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$），
得ρ²（cos²θ-sin²θ）=4（ρ＞0，$\frac{3π}{4}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$），
可得直角坐標(biāo)方程為x²-y²=4（x＜0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
∴直線l與曲線C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（-2，0），極坐標(biāo)為（2，π）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，是基礎(chǔ)題．