Question

17．已知冪函數(shù)$f（x）={（{m-1}）^2}{x^{{m^2}-4m+3}}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)$h（x）=-\root{3}{{{{[{f（x）}]}^2}}}+2bx+1-b$在[0，2]上的最大值為3，求實數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （1）利用冪函數(shù)的定義可知m=0或m=2，進而驗證即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知h（x）的圖象是以x=b為對稱軸、開口向下的拋物線（y軸及其右側(cè)部分），分b≤0、0＜b＜2、b≥2三種情況討論即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={（{m-1}）^2}{x^{{m^2}-4m+3}}$為冪函數(shù)，
∴（m-1）²=1，解得m=0或m=2，
當m=0時，m²-4m+3=0-0+3=3，即f（x）=x³，滿足題意；
當m=3時，m²-4m+3=9-12+3=0，即f（x）=1，不滿足題意；
綜上所述，實數(shù)m的值為0；
（2）由（1）可知$h（x）=-\root{3}{{{{[{f（x）}]}^2}}}+2bx+1-b$=-x²+2bx+1-b，x≥0，
∴h（x）的圖象是以x=b為對稱軸、開口向下的拋物線（y軸及其右側(cè)部分），
當b≤0時，h（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
此時h（x）_max=h（0）=1-b=3，解得：b=-2，滿足題意；
當0＜b＜2時，h（x）在[0，b）上單調(diào)遞增、在（b，2]上單調(diào)遞減，
此時h（x）_max=h（b）=-b²+2b²+1-b=3，解得：b=2或b=-1，不滿足題意；
當b≥2時，h（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
此時h（x）_max=h（2）=-4+4b+1-b=3，解得：b=2，滿足題意；
綜上所述，實數(shù)b的值為±2．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．