Question

12．設(shè)正項數(shù)列{a_n}的前n項和滿足S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²．求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 由S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²．n=1時，a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡根據(jù)數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列及其等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²．∴a₁=$\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²-$\frac{1}{4}（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項數(shù)列，
∴a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．