Question

17．已知p：函數(shù)g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$的值域是[0，+∞）；q：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+mx+1在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，若“p或q”為真命題，“p或q”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件分別求出p，q成立的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題真假之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)m=0時(shí)，g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$=1，函數(shù)的值域?yàn)閧1}，不滿足條件．
當(dāng)m≠0時(shí)，要使函數(shù)g（x）=$\sqrt{{mx}^{2}+mx+1}$的值域是[0，+∞）；
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-4m≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m≥4或m≤0}\end{array}\right.$，
即m≥4，
綜上m≥4，即p：m≥4，
若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+mx+1在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）=x²-x+m≥0恒成立，
即判別式△=1-4m≤0，得m≥$\frac{1}{4}$，
即f（x）在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，則m＜$\frac{1}{4}$，即q：m＜$\frac{1}{4}$，
若“p或q”為真命題，“p或q”為假命題，
則p，q為一個(gè)真，一個(gè)假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{m≥4}\\{m≥\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，此時(shí)：m≥4，
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{m＜4}\\{m＜\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，則m＜$\frac{1}{4}$，
綜上m≥4或m＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出命題p，q的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．