Question

4．已知函數f（x）=a（x-1）-2lnx（a∈R）
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（0，1]上的最小值為0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1），f（1）的值，代入切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，確定函數的單調區(qū)間，表示出最小值，得到關于a的方程，判斷a的具體范圍即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x-1-2lnx，x＞0，
f′（x）=$\frac{x-2}{x}$，（x＞0），
∴f′（1）=-1，f（1）=0，
故切線方程是：y-0=-1（x-1），
故x+y-1=0；
（2）f′（x）=$\frac{ax-2}{x}$，x∈（0，1]，
a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1]遞減，
∴f（x）_min=f（1）=0，
0＜a≤2時，f′（x）≤0，f（x）在（0，1]遞減，
∴f（x）_min=f（1）=0，
a＞2時，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，令f′（x）＞0，解得：$\frac{2}{a}$＜x≤1，
∴f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）遞減，在（$\frac{2}{a}$，1]遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{2}{a}$）＜f（1）=0（舍），
綜上，a的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．