Question

8．如圖，D為BC的中點，E_n為AC上的一列動點，且$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{2}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$-$\frac{1}{2}$（a_n-1）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$．若a₁=0，則a_n=（　�。�

• A． 1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ
• B． 1-（$\frac{1}{2}$）^n-1
• C． （$\frac{1}{2}$）ⁿ-1
• D． （$\frac{1}{2}$）^n-1-1

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{2}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$-$\frac{1}{2}$（a_n-1）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{{E}_{n}D}$=$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，化為：$\overrightarrow{B{E}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{{a}_{n}-1}{2（{a}_{n}-{a}_{n+1}+1）}$$\overrightarrow{BC}$，利用向量共線定理可得：$\frac{2}{{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$+$\frac{{a}_{n}-1}{2（{a}_{n}-{a}_{n+1}+1）}$=1，化簡變形為：a_n+1+1=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+1）$，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{2}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$-$\frac{1}{2}$（a_n-1）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{{E}_{n}D}$=$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，
化為：$\overrightarrow{B{E}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{{a}_{n}-1}{2（{a}_{n}-{a}_{n+1}+1）}$$\overrightarrow{BC}$，
∵E_n為AC上的一列動點，
∴$\frac{2}{{a}_{n}-{a}_{n+1}+1}$+$\frac{{a}_{n}-1}{2（{a}_{n}-{a}_{n+1}+1）}$=1，
化為：2a_n+1=a_n-1，
變形為：a_n+1+1=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+1）$，
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{1}{2}$．
∴a_n+1=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$-1，
故選：D．

點評 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、等比數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．