Question

11．已知點(diǎn)A（-a，2a）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)M（1，m）對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為C，且m＞2，a∈（0，1]．
（Ⅰ）設(shè)△ABC的面積S，把S表示為關(guān)于a的解析式S=f（a）；
（Ⅱ）若f（a）＜m²-k-1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)已知求出△ABC的底邊長(zhǎng)和高，代入三角形面積公式，可得答案；
（Ⅱ）若f（a）＜m²-k-1恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論，最后綜合討論結(jié)果，可得滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知有B（a，2a）；…（1）分
C（2-a，2m-2a）．…（2）分
所以△ABC的高為2m-2a-2a=2m-4a，底為2a，…（3）分
∴S=f（a）=$\frac{1}{2}$×2a×（2m-4a）=-4a²+2ma   …（5）分
（Ⅱ）由f（a）=-4a²+2ma的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線a=$\frac{m}{4}$為對(duì)稱(chēng)的拋物線，
①當(dāng)2＜m＜4時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸a=$\frac{m}{4}$∈（$\frac{1}{2}$，1），
所以函數(shù)在（0，1]上的最大值為$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∵f（a）＜m²-k-1恒成立，即$k＜\frac{{3{m^2}}}{4}-1$恒成立．
∵2＜m＜4
∴k≤$\frac{3×{2}^{2}}{4}$-1=2------------------------（※） …（9）分
②當(dāng)m≥4時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為a=$\frac{m}{4}$≥1
所以函數(shù)在（0，1]上的最大值為-4+2m，
∵f（a）＜m²-k-1恒成立，即k≤m²-2m+3恒成立．
∵m≥4------------------------（※※），
∴m²-2m+3≥11，即k≤11，…（11）分
由（※），（※※）求交得，k≤2．…（12）分

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類(lèi)討論思想，難度中檔．