Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx+a．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=e處的切線方程為y=2x，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)m＞0，當(dāng)x∈[m，2m]時(shí)，求f（x）的最小值；
（3）求證：${?_n}∈{N_+}，{e^{1+\frac{1}{n}}}＞{（1+\frac{1}{n}）^e}$．

Answer 1

分析 （1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)進(jìn)行求解即可．
（2）求好的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
（3）令x=$\frac{n}{n+1}$，利用（2）的結(jié)論，構(gòu)造不等式進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=f（x）在x=e處的切線方程為y=2x，
∴此時(shí)y=2e，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（e，2e），
則切點(diǎn)也在函數(shù)f（x）上，則f（e）=elne+a=e+a=2e，
則a=e，
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{e}$，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
即函數(shù)在（$\frac{1}{e}$，+∞）上為增函數(shù)，在（0，$\frac{1}{e}$）上為減函數(shù)，
①當(dāng)2m≤$\frac{1}{e}$，即m≤$\frac{1}{2e}$時(shí)，f（x）_min=f（2m）=2mln2m+a，
②當(dāng)m＜$\frac{1}{e}$＜2m，即$\frac{1}{2e}$＜m＜$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+a，
③當(dāng)m≥$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_min=f（m）=mlnm+a．
（3）令x=$\frac{n}{n+1}$，則x＞$\frac{1}{e}$，
由（2）知，xlnx+a≥-$\frac{1}{e}$+a，
即xlnx≥-$\frac{1}{e}$，當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，取等號，
∴$\frac{n}{n+1}$ln=$\frac{n}{n+1}$＞-$\frac{1}{e}$，則-ln$\frac{n+1}{n}$＞-$\frac{1}{e}$•$\frac{n+1}{n}$，即e•$\frac{n+1}{n}$＜$\frac{n+1}{n}$，即ln（1+$\frac{1}{n}$）^e＜1+$\frac{1}{n}$，
∴${?_n}∈{N_+}，{e^{1+\frac{1}{n}}}＞{（1+\frac{1}{n}）^e}$．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．