Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1），其中f（x）=x²-4x+2．
（1）求實(shí)數(shù)x及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若{a_n}是遞增數(shù)列，將數(shù)列{a_n}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2ⁿ項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意分別化簡(jiǎn)a₁=f（x+1）、a₃=f（x-1），再由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程求出x的值，再求出a₁、d的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（2）由{a_n}是遞增數(shù)列得a_n=2n-4，再求出b_n=a2n=2ⁿ⁺¹-4，由分組求和法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n．

解答： 解：（1）由題意得，a₁=f（x+1）=（x+1）²-4（x+1）+2=x²-2x-1，
a₃=f（x-1）=（x-1）²-4（x-1）+2=x²-6x+7，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以2a₂=a₁+a₃，
即x²-2x-1+（x²-6x+7）=0，則x²-4x+3=0，
解得x=1或x=3，
當(dāng)x=1時(shí)，a₁=-2，d=2，a_n=2n-4，
當(dāng)x=3時(shí)，a₁=2，d=-2，a_n=-2n+4，
（2）因?yàn)閍_n}是遞增數(shù)列，所以a_n=2n-4，
則b_n=a2n=2ⁿ⁺¹-4，
所以T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-4n=

22(1-2n)

1-2

-4n=2ⁿ⁺²-4n-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列求和的方法：分組求和法．