Question

在平面直角坐標系中，曲線C₁的參數(shù)方程為：

x=4cosφ y=3sinφ

（φ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為ρ=2cosθ
（1）去曲線C₁的直角坐標方程；
（2）已知點M是曲線C₁上任意一點，點N是曲線C₂上任意一點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）直接根據(jù)極坐標和直角坐標互化公式求解即可；
（2）利用已知，得到|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，然后，得到|MC₂|²=（4cosφ-1）²+9sin²φ=7cos²φ-8cosφ+10，借助于三角函數(shù)的取值情況進行求解即可．

解答： 解：（1）由ρ=2cosθ，得
ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
∴（x-1）²+y²=1，
（2）設(shè)點M（4cosφ，3sinφ），則
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（4cosφ-1）²+9sin²φ=7cos²φ-8cosφ+10，
當cosφ=-1時，得|MC₂|²_max=25，|MC₂|_max=5，
當cosφ=

4

7

時，得|MC₂|²_min=

54

7

，|MC₂|_min=

3 42

7

，
∴

3 42

7

-1≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤5+1，
∴|MN|的取值范圍[

3 42

7

-1，6]．

點評：本題重點考查極坐標和直角坐標的互化公式、距離問題處理思路和方法等知識，屬于中檔題．