Question

7．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足|a_n-$\frac{{{a_{n+1}}}}{2}$|≤1，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：|a_n|≥2^n-1（|a₁|-2）（n∈N^*）
（Ⅱ）若|a_n|≤（$\frac{3}{2}$）ⁿ，n∈N^*，證明：|a_n|≤2，n∈N^*．

Answer 1

分析 （I）使用三角不等式得出|a_n|-$\frac{1}{2}$|a_n+1|≤1，變形得$\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$-$\frac{|{a}_{n+1}|}{{2}^{n+1}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，使用累加法可求得$\frac{|{a}_{1}|}{2}-\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$＜1，即結(jié)論成立；
（II）利用（I）的結(jié)論得出$\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$-$\frac{|{a}_{m}|}{{2}^{m}}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，進(jìn)而得出|a_n|＜2+（$\frac{3}{4}$）^m•2ⁿ，利用m的任意性可證|a_n|≤2．

解答 解：（I）∵|a_n-$\frac{{{a_{n+1}}}}{2}$|≤1，∴|a_n|-$\frac{1}{2}$|a_n+1|≤1，
∴$\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$-$\frac{|{a}_{n+1}|}{{2}^{n+1}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴$\frac{|{a}_{1}|}{2}-\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$=（$\frac{|{a}_{1}|}{2}$-$\frac{|{a}_{2}|}{{2}^{2}}$）+（$\frac{|{a}_{2}|}{{2}^{2}}$-$\frac{|{a}_{3}|}{{2}^{3}}$）+…+（$\frac{|{a}_{n-1}|}{{2}^{n-1}}$-$\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$）≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜1．
∴|a_n|≥2^n-1（|a₁|-2）（n∈N^*）．
（II）任取n∈N^*，由（I）知，對(duì)于任意m＞n，
$\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$-$\frac{|{a}_{m}|}{{2}^{m}}$=（$\frac{|{a}_{n}|}{{2}^{n}}$-$\frac{|{a}_{n+1}|}{{2}^{n+1}}$）+（$\frac{|{a}_{n+1}|}{{2}^{n+1}}$-$\frac{|{a}_{n+2}|}{{2}^{n+2}}$）+…+（$\frac{|{a}_{m-1}|}{{2}^{m-1}}$-$\frac{|{a}_{m}|}{{2}^{m}}$）
≤$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{m-1}}$=$\frac{\frac{1}{{2}^{n}}（1-\frac{1}{{2}^{m-n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴|a_n|＜（$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{|{a}_{m}|}{{2}^{m}}$）•2ⁿ≤[$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{m}}$•（$\frac{3}{2}$）^m]•2ⁿ=2+（$\frac{3}{4}$）^m•2ⁿ．①
由m的任意性可知|a_n|≤2．
否則，存在n₀∈N^*，使得|a${\;}_{{n}_{0}}$|＞2，
取正整數(shù)m₀＞log${\;}_{\frac{3}{4}}$$\frac{|{a}_{{n}_{0}}|-2}{{2}^{{n}_{0}}}$且m₀＞n₀，則
2${\;}^{{n}_{0}}$•（$\frac{3}{4}$）${\;}^{{m}_{0}}$＜2${\;}^{{n}_{0}}$•（$\frac{3}{4}$）${\;}^{lo{g}_{\frac{3}{4}}\frac{|{a}_{{n}_{0}}|-2}{{2}^{{n}_{0}}}}$=|a${\;}_{{n}_{0}}$|-2，與①式矛盾．
綜上，對(duì)于任意n∈N^*，都有|a_n|≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的應(yīng)用與證明，等比數(shù)列的求和公式，放縮法證明不等式，難度較大．