Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，
（1）求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；
（3）求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，利用函數(shù)性質(zhì)能求出f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）猜想f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，再利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行證明．
（3）由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，能求出f（1）+[f（1）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）]的值．

解答 解 （1）∵f（x）=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，

∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{2}^{2}}{1+{2}^{2}}+\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{1+4}+\frac{1}{1+4}$=1，…（2分）
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$+$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{9}{1+9}$+$\frac{1}{1+9}$=1．…（4分）
（2）由（1）猜想f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，…（6分）
證明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1．…（8分）
（3）由（2）可得，
原式=f（1）+[f（1）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2016）+f（$\frac{1}{2016}$）]
=f（1）+2015=$\frac{1}{2}+2015$=$\frac{4031}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．