Question

19．若函數(shù)f（x）=x³-mx-1在R上存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{3}{\root{3}{4}}$，+∞）．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的極值，令極大值大于0，極小值小于0即可求出m的范圍．

解答 解：f′（x）=3x²-m，
（1）當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函數(shù)，
∴f（x）在R上不可能有三個(gè)零點(diǎn)，
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）=0解得x=±$\sqrt{\frac{m}{3}}$，
當(dāng)x＜-$\sqrt{\frac{m}{3}}$或x＞$\sqrt{\frac{m}{3}}$時(shí)f′（x）＞0，當(dāng)-$\sqrt{\frac{m}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{m}{3}}$時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-$\sqrt{\frac{m}{3}}$時(shí)，f（x）取得極大值f（-$\sqrt{\frac{m}{3}}$）=$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1，
當(dāng)x=$\sqrt{\frac{m}{3}}$時(shí)，f（x）取得極小值f（$\sqrt{\frac{m}{3}}$）=-$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1，
顯然-$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1＜0，
∵f（x）在R上有3個(gè)零點(diǎn)，∴$\frac{2m}{3}\sqrt{\frac{m}{3}}$-1＞0，
解得m＞$\frac{3}{\root{3}{4}}$．
故答案為（$\frac{3}{\root{3}{4}}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值與零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．