Question

16．在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₄+a₃-a₂-a₁=1，則a₅+a₆的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè) a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，由條件求得 x=$\frac{1}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1，再由a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2，利用基本不等式求出a₅+a₆的最小值．

解答 解：在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，設(shè) a₂+a₁=x，等比數(shù)列的公比為q，
則a₄+a₃ =xq²，a₅+a₆ =xq⁴．
再由a₄+a₃-a₂-a₁=1，可得xq²=1+x，∴x=$\frac{1}{{q}^{2}-1}$＞0，q＞1．
∴a₅+a₆ =xq⁴ =$\frac{{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=q²+1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$）=q²-1+$\frac{1}{{q}^{2}-1}$+2≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)q²-1=1時(shí)，等號(hào)成立，故a₅+a₆的最小值為4，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．