Question

8．已知c＞0，且c≠1，設p：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f（x）=x²-2cx+1在（1，+∞）上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x²-2cx+1在（1，+∞）上為增函數(shù)，知q：0＜c＜1，￢q：c＞1．由“p或q”為真，“p且q”為假，知p真q假，或p假q真，由此能求出實數(shù)c的取值范圍．

解答 解∵函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，∴0＜c＜1．（2分）
即p：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）
又∵f（x）=x²-2cx+1在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴c＜1．
即q：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞1．（5分）
又∵“p或q”為真，“p且q”為假，
∴p真q假，或p假q真．（6分）
①當p真，q假時，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞1}=∅．（8分）
②當p假，q真時，{c|c＞1}∩{c|0＜c＜1}=∅．[（10分）]
綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是：∅．（12分

點評 本題考查復合命題的真假判斷及應用，解題時要認真審題，注意指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．