Question

如圖所示，正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為

2

，底面邊長(zhǎng)為

3

，E是SA的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心．
（1）求CE的長(zhǎng)；
（2）求異面直線BE與SC所成角的余弦值；
（3）若OG⊥SC，垂足為G，求證：OG⊥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間角

分析：（1）建立空間坐標(biāo)系，即可求CE的長(zhǎng)；
（2）利用向量法即可求異面直線BE與SC所成角的余弦值；
（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明OG⊥平面OEB即可證明OG⊥BE．

解答： 解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵底面邊長(zhǎng)為

3

，側(cè)棱長(zhǎng)為

2

∴AC=

6

，OC=OA=

6

2

，
則SO=

2

2

，
則A（

6

2

，0，0），C（-

6

2

，0，0），S（0，0，

2

2

），E（

6

4

，0，

2

4

），
B（0，

6

2

，0），
則

CE

=（-

6

4

，0，

2

4

），則|

CE

=

( 6 4 )2+( 2 4 )2

=

1 2

=

2

2

，
即CE=

2

2

．
（2）

BE

=（

6

4

，-

6

2

，

2

4

），

SC

=（-

6

2

，0，-

2

2

），
則|

BE

|=

2

，|

SC

|=

2

，
則cos＜

BE

，

SC

＞=

BE • SC

| BE| | SC |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
即異面直線BE與SC所成角的余弦值為

1

2

．
（3）∵E是SA的中點(diǎn)，
∴OE∥SC，
若OG⊥SC，則OG⊥OE，
∵OB⊥平面SAC，
∴OB⊥OG，
∵OE∩OB=B，
∴OG⊥平面OEB，
則OG⊥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面垂直的性質(zhì)以及空間線段長(zhǎng)度以及異面直線所成角的求解，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．