Question

10．已知實數(shù)c是a，b的等差中項，則直線l：ax-by+c=0被圓x²+y²=9所截得弦長的取值范圍為$[\sqrt{34}，6]$．

Answer 1

分析 由等差中項的性質列出等式并表示出c，由點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離平方，由$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$求出距離平方的范圍，根據弦長公式求出所截得弦長的最小值，由直線過圓心求出最大值，即可求出所截得弦長的取值范圍．

解答 解：∵實數(shù)c是a，b的等差中項，∴2c=a+b，則c=$\frac{a+b}{2}$，
∴圓心（0，0）到直線l：ax-by+c=0的距離平方：d²=${（\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）}^{2}$=$\frac{（\frac{a+b}{2}）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$，∴d²$≤\frac{1}{2}$，當且僅當a=b時取等號，
∴直線l被圓x²+y²=9所截得弦長是：2$\sqrt{{r}^{2}-6qcpryg^{2}}$=2$\sqrt{9-rrva2yn^{2}}$$≥2\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵當直線l過圓心（0，0）時，所得的弦長最大是直徑為6，
∴所截得弦長的取值范圍是$[\sqrt{34}，6]$，
故答案為：$[\sqrt{34}，6]$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式，以及利用不等式求最值，屬于中檔題．