Question

20．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+1=0，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），設(shè)直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ） 寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ） 求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化直接寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)即可得到直線l的普通方程；
（Ⅱ） 點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），設(shè)點(diǎn)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)分別為（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$）．將$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與（x-2）²+y²=3聯(lián)立，得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1，轉(zhuǎn)化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-4x+1=0，即
（x-2）²+y²=3…（2分）
直線l的普通方程為x-$\sqrt{3}$y=0                     …（4分）
（Ⅱ）點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），設(shè)點(diǎn)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，點(diǎn)P，Q的極坐標(biāo)分別為（${ρ}_{1}，\frac{π}{6}$），（${ρ}_{2}，\frac{π}{6}$）．
將$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與（x-2）²+y²=3聯(lián)立得：t²+2$\sqrt{3}$t+1=0，
由韋達(dá)定理得：t₁t₂=1，|AP||AQ|=1                 …（6分）
將直線的極坐標(biāo)方程θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）與圓的極坐標(biāo)方程ρ²-4ρcosθ+1=0聯(lián)立得：
${ρ}^{2}-2\sqrt{3}ρ+1=0$，由韋達(dá)定理得：ρ₁ρ₂=1，即|OP||OQ|=1 …（8分）
所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t₁t₂|ρ₁ρ₂|=1．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．